KPK dan Aplikasinya

Bahasan mengenai Kelipatan Persekutuan Terkecil beserta aplikasinya dalam soal cerita.

Halo Sahabat Gurnulis. Sebelumya penulis telah membahas mengenai FPB dan aplikasinya ya. Nah, pada artikel kali ini penulis hendak mengajak sahabat membahas tentang KPK. Penulis mengetengahkan literasi mengenai KPK atau Kelipatan Persekutuan Terkecil dan aplikasinya dalam kehidupan. Tentunya KPK ini bukanlah bahasan yang asing bagi kita. Ayo sama-sama kita pelajari.

Pengertian KPK

KPK atau Kelipatan Persekutuan Terkecil adalah bilangan kelipatan terkecil yang sama dari banyaknya suatu bilangan tertentu. Dalam bahasa Inggris KPK disebut sebagai Lowest Common Multiple (LCM).

Manfaat KPK

Untuk apa kita belajar KPK? Dalam kehidupan seringkali kita jumpai permasalahan terkait kelipatan atau suatu kasus yang dapat diselesaikan dengan KPK. Sebagai contoh: untuk mengetahui jadwal kegiatan.

Yati dan Puji memberi tanda pada kalender untuk jadwal mereka belajar di perpustakaan. Yati ke perpustakaan kota setiap dua hari sekali, sedangkan Puji setiap tiga hari sekali. Mereka pergi bersama ke perpustakaan pada tanggal 31 Desember 2015. Pada tanggal berapa saja mereka akan ke perpustakaan bersama-sama di bulan Januari 2016? Kapan untuk kedua kalinya mereka akan pergi ke perpustakaan bersama lagi?

Selain untuk membantu memecahkan permasalahan dalam kehidupan, KPK juga membantu kita dalam perhitungan dalam pecahan dengan penyebut tidak sama, seperti pada membandingkan pecahan, mengurutkan pecahan, dan melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan.

Permasalahan berikut, tentunya akan lebih mudah dikerjakan dengan menggunakan KPK.

Berilah tanda ">" atau "<" atau "=" pada pecahan beikut.
³/₅ ... ⁴/₇

Permasalahan di atas, akan lebih mudah jika kita menyamakan penyebut pada pecahan tersebut. Untuk menyamakan penyebut sebaiknya dengan menggunakan KPK dari kedua atau ketiga bilangan penyebut pada pecahannya masing-masing. Misalnya³/₅ ... ⁴/₇ penyebut pecahan tersebut adalah 5 dan 7. KPK dari 5 dan 7 adalah 35, sehingga didapatkan³/₅ ... ⁴/₇ adalah sama dengan ²¹/₃₅ ... ²⁰/₃₅. Didapatkan hasil³/₅ > ⁴/₇.

Menentukan KPK dalam Soal Cerita

Perhatikan contoh kasus berikut!

Yati dan Puji mempunyai jadwal tetap belajar di perpustakaan kota yang buka setiap hari. Yati ke perpustakaan kota setiap 4 hari sekali, sedangkan Puji setiap 6 hari sekali. Mereka pergi bersama ke perpustakaan pada tanggal 31 Desember 2015. Pada tanggal berapa saja mereka akan ke perpustakaan bersama-sama di bulan Januari 2016? Kapan untuk kedua kali mereka pergi ke perpustakaan bersama lagi?

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memberi tanda langgung pada tanggalan atau kalender. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

Memberi tanda pertama kali mereka pergi bersama, yaitu pada tanggal 31 Desember 2015.
Memberi tanda jadwal masing-masing dengan simbol yang berbeda. Dari soal cerita tadi, diketahui Yati ke perpustakaan kota setiap 4 hari sekali, berilah tanda setiap 4 hari sekali pada tanggalan (tanda stabilo kuning) sedangkan Puji ke perpustakaan setiap 6 hari sekali, berilah tanda setiap 6 hari sekali (tanda lingkaran biru).
Perhatikan tanggal yang mempunyai dua simbol. Pada tanggal tersebut merupakan kelipatan persekutuan dari kedua bilangan. Tanggal 12 dan 24 Januari 2016 mempunyai dua simbol; stabilo kuning dan lingkaran biru. Jadi pada tanggal tersebut mereka pergi bersama ke perpustakaan.
Perhatikan tanggal yang mempunyai dua simbol untuk kedua kalinya setelah tanda mulai. Tanggal 12 Januari 2016 mereka pergi bersama kembali untuk kedua kalinya. Inilah KPK dari 4 dan 6.

Pertanyaan pada permasalahan tersebut adalah pada tanggal berapa saja mereka akan ke perpustakaan bersama-sama di bulan Januari 2016? Kapan mereka pergi ke perpustakaan bersama lagi untuk kedua kalinya?

Pertanyaan pada tanggal berapa saja mereka akan ke perpustakaan bersama-sama di bulan Januari 2016, merupakan pertanyaan tentang kelipatan persekutuan. Karena kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, dst. dan mereka pertama kali pergi bersama ke perpustakaan pada tanggal 31 Desember 2015, berarti 12 hari kemudian, 24 hari kemudian dst. dari tanggal 31 Desember 2015. Jadi mereka akan ke perpustakaan bersama di bulan Januari 2016 pada tanggal 12 dan 24 januari 2016.

Perlu diingat, bahwa permasalahan KPK yang berkaitan dengan tanggal terkadang antara nilai KPK dengan jawaban tanggal yang ditanyakan berbeda. Hal ini tergantung pada tanggal berapa mereka melakukan suatu kegiatan secara bersama-sama, dan kapan mereka memulai kegiatannya masing-masing. KPK hasil perhitungan merupakan waktu tercepat mereka melakukan kegiatan bersama kembali dihitung dari tanggal pertama kali mereka melakukan kegiatan bersama.

Kita beralih ke contoh soal cerita yang lain sebagai berikut.

Keluarga Pak Subur membuat jadwal piket membersihkan rumah. Iqbal mendapat tugas membersihkan taman di depan rumah setiap 6 hari sekali. Nayla membersihkan halaman belakang setiap 7 hari sekali. Nadya membersihkan perabot rumah dari debu setiap 4 hari sekali. Jika hari ini mereka bekerja bersama-sama, maka
a. kapan Iqbal dan Nayla akan piket bersama untuk kedua kalinya?
b. kapan Iqbal dan Nadya akan piket bersama untuk kedua kalinya?
c. kapan Nayla dan Nadya akan piket bersama untuk kedua kalinya?
d. kapan mereka akan bekerja bersama-sama untuk kedua kalinya?

Permasalahan jadwal piket ini dapat diselesaikan dengan menggunakan tabel angka. Satu persatu kita tandai tabel angka tersebut.

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka sama halnya dengan mencari KPK dari bilangan-bilangan berikut.

KPK dari 6 dan 7. Berarti kita mencari angka dengan nilai terkecil yang mempunyai simbol stabilo kuning dan lingkaran biru secara bersamaan dari tabel di atas, yaitu 42. Jadi Iqbal dan Nayla akan piket bersama 42 hari kemudian.
KPK dari 6 dan 4. Berarti kita mencari angka dengan nilai terkecil yang mempunyai simbol stabilo kuning dan segitiga merah secara bersamaan dari tabel di atas, yaitu 12. Jadi Iqbal dan Nadiya akan piket bersama 12 hari kemudian.
KPK dari 7 dan 4. Berarti kita mencari angka terkecil yang mempunyai simbol lingkaran biru dan segitiga merah secara bersamaan dari tabel di atas, yaitu 28. Jadi Nayla dan Nadya akan piket bersama 28 hari kemudian.
KPK dari 6, 7, dan 4. Berarti kita mencari angka dengan nilai terkecil yang mempunyai simbol stabilo kuning, lingkaran biru, dan segitiga merah secara bersamaan dari tabel di atas, yaitu 84. Jadi Iqbal, Nayla, dan Nadiya akan piket bersama 42 hari kemudian.

Menggunakan KPK untuk Menyelesaikan Masalah Susul Menyusul Saat Berkendara

KPK dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah susul-menyusul saat berkendara. Perhatikan kasus berikut!

Ali bersepeda dari Yogya ke Sala dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam. Ia Berangkat pada pukul 07.00. Satu jam kemudian Slamet menyusul Ali mengendarai sepeda motor dengan kecepatan rata-rata 30 km/jam. Pada km berapa dan pukul berapa Slamet menyusul Ali?

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan KPK dengan mengikuti langkah-langkah berikut.

Kecepatan Ali bersepeda ... km/jam, berangkat pukul ...

Kecepatan Slamet naik motor, ... km/jam, berangkat pukul ...

Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan KPK, yaitu dengan menentukan KPK dari ... dan ..., yaitu ....

Setelah ditemukan KPK-nya, maka Ali tersusul Slamet pada jarak 60 km/jam.

Ali tersusul Slamet dalam waktu: (^.../_...) jam = ... jam, yaitu 3 jam setelah berangkat atau pukul ...
Dengan kata lain, Slamet akan menyusul Ali dalam waktu: (⁶⁰/₃₀) jam = ... jam, yaitu ... jam setelah berangkat atau pukul ....

Demikianlah bahasan mengenai KPK dan aplikasinya, ya Sahabat Gurnulis. Semoga bermanfaat.

Salam litersi guru ndeso.