Operasi Perkalian pada Bilangan Cacah

Bahasan mengenai operasi perkalian pada bilangan cacah yang pendekatannya dapat dilakukan melalui himpunan atau kumpulan, pengukuran, jajaran, produk Cartesius, alat peraga nilai tempat, mesin fungsi, penjumlahan berulang, mendatar - bersusun panjang - bersusun pendek. Sifat dari perkaliannya meliputi tertutup, pertukaran, pengelompokan, dan distributif.

Halo Sahabat Gurnulis. Masih ingat dengan bahasan bilangan cacah yang telah penulis muat beberapa waktu yang lalu? Ya, bilangan cacah adalah bilangan yang terdiri dari bilangan asli ditambah dengan nol (0). Penulis juga telah membahas mengenai operasi penjumlahan dan operasi pengurangan pada bilangan cacah ini juga lho. Kalau Sahabat Gurnulis ingin membacanya, sahabat dapat mengeklik tautan-tautan tersebut. Masih tentang bilangan cacah, kini penulis hendak mengajak Sahabat berliterasi mengenai operasi hitung perkalian. Operasi hitung perkalian ini sangat menarik untuk dipelajari. Yuk, sama-sama kita simak.

Pada tingkat Sekolah Dasar, operasi penjumlahan dan pengurangan diperkenalkan terlebih dahulu melalui benda-benda konkret ataupun dengan gambar. Menurut penelitian, peragaan operasi hitung dengan melibatkan benda-benda konkret ataupun gambar ini sangat membantu peserta didik untuk memahaminya. Begitu pun dengan operasi hitung perkalian. Operasi hitung perkalian ini sebaiknya diperkenalkan kepada peserta didik di tingkat Sekolah Dasar melalui media yang sama, benda-benda konkret ataupun gambar. Operasi hitung perkalian harus diperkenalkan melalui keterkaitannya dengan kehidupan sehari-hari. Pembelajarannya dimulai dengan peragaan menggunakan benda-benda konkret ataupun gambar, kemudian dilanjutkan kepada model simbol.

Untuk lebih jelasnya, kita ambil contoh sebagai berikut.

Ibu Ani mempunyai 2 dus telur. Masing-masing dus berisikan 6 butir telur. Berapa butir telur yang dipunyai oleh Ibu Ani?

Soal tersebut dapat diperagakan sebagai berikut.

Fakta-fakta Dasar Perkalian Bilangan Cacah

Yang dimaksud dengan fakta-fakta dasar perkalian bilangan cacah adalah perkalian bilangan 0 (nol) sampai dengan 9 (sembilan), misalnya 8 x 3, 1 x 9, 6 x 0, ataupun 5 x 4. Adapun 3 x 15 bukanlah fakta dasar perkalian karena 15 bukan bilangan yang lambangnya terdiri dari satu angka. Pada perkalian, ada 100 buah kombinasi fakta dasar, yaitu sebagai berikut.

0 x 0	0 x 1	0 x 2	. .....	0 x 9
1 x 0	1 x 1	1 x 2	. .....	1 x 9
2 x 0	2 x 1	2 x 2	. .....	2 x 9
.....	. .....	. .....	. .....	. ......
.....	. .....	. .....	. .....	. .....
.....	. .....	. .....	. .....	. .....
9 x 0	9 x 1	9 x 2	. .....	9 x 9

Untuk membelajarkan perkalian, ada tujuh pendekatan yang dapat ditempuh, yaitu melalui:

himpunan atau kumpulan;
pengukuran;
jajaran;
produk Cartesius;
alat peraga nilai tempat;
mesin fungsi;
penjumlahan berulang;
mendatar - bersusun panjang - bersusun pendek.

Berikut penjelasannya.

Perkalian Bilangan Cacah melalui Himpunan atau Kumpulan

Perkalian bilangan cacah dapat dibelajarkan dengan menggunakan pendekatan himpunan atau kumpulan, yaitu dengan menggunakan himpunan-himpunan lepas yang ekuivalen dan sejenis. Contohnya sebagai berikut.

Fajar memiliki 3 bungkus permen karet. Masing-masing bungkusnya berisikan 4 buah permen karet. Berapa buah permen karet yang dimiliki oleh Fajar?

Dengan menggunakan pendekatan himpunan atau kumpulan, kita dapatkan gambar sebagai berikut.

Banyaknya himpunan adalah 3 dan masing-masing anggota himpunannya adalah 4. Banyaknya anggota himpunan adalah 3 x 4 = 12.

Perkalian Bilangan Cacah melalui Pengukuran

Perkalian bilangan cacah melalui pengukuran dapat ditempuh dalam beberapa cara, yaitu dengan garis bilangan, timbangan bilangan, batang kuesioner, dan luas. Penjelasannya adalah sebagai berikut.

Perkalian melalui Garis Bilangan

Kita ambil contoh soal sebagai berikut.

Andi menyambung 3 tongkat, masing-masing tongkat panjangnya 2 meter. Berapa meter panjang tongkat yang telah disambung oleh Andi?

Penyelesaian perkalian di atas dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.

Dari garis bilangan di atas tampak bahwa soal di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian 3 x 2 = 6.

Perkalian melalui Timbangan (Neraca) Bilangan

Timbangan atau neraca bilangan dapat digunakan untuk memperagakan perkalian bilagan cacah. Untuk menunjukkan bahwa 2 x 3 = 6, dilakukan langkah-langkah berikut.

Pada lengan timbangan (neraca) bilangan sebelah kiri gantungkan 2 keping batu timbangan pada posisi 3.
Timbangan akan timpang atau tidak seimbang.
Untuk menyeimbangkan timbangan, di manakah harus diletakkan satu batu timbangan pada lengan kanannya? Jawabannya adalah di posisi 6.

Dari peragaan di atas didapatkan pernyataan 2 x 3 = 6.

Perkalian melalui Batang Kuesioner

Cara memperagakan perkalian bilangan cacah dengan menggunakan batang kuesioner adalah sebagai berikut. Andaikan kita akan menunjukkan bahwa 3 x 2 = 6, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

Ambil 3 batang kuesioner berwarna ungu yang panjang 2 satuan.
Bariskan ketiga batang tersebut secara ujung-mengujung.
Cari batang kuesioner lain yang berwarna kuning yang panjangnya sepadan dengan ketiga batang ungu yang tersusun di atas. Ternyata yang sepadan adalah batang yang panjangnya 6 satuan.
Sejajarkan batang keusioner kuning tersebut dengan batang-batang kuesioner ungu. Perhatikan gambar berikut.

Dari peragaan tersebut didapatkan pernyataan 3 x 2 = 6.

Perkalian melalui Luas

Bagi peserta didik yang telah memahami arti luas daerah bangun geometri, perkalian bilangan cacah dapat ditunjukkan dengan menggunakan luas. Untuk memperagakan 2 x 5 misalnya, dapat diperagakan dengan persegi panjang dengan lebar 2 satuan dan panjang 5 satuan. Untuk memperagakan 3 x 2 dapat diperagakan dengan persegi panjang dengan lebar 3 satuan dan panjang 2 satuan. Perhatikan gambar berikut.

Dari peragaan tersebut didapatkan pernyataan bahwa 2 x 5 = 10 dan 3 x 2 = 6.

Perkalian Bilangan Cacah melalui Jajaran

Jajaran atau arange adalah susunan benda-benda dalam bentuk persegi panjang. Berikut ini contoh beberapa buah jajaran.

Jajaran mendatar disebut baris dan jajaran tegak disebut lajur atau kolom. Pada gambar (a) ada 2 baris dan 4 lajur dan pada gambar (b) ada 3 baris dan 5 lajur.

Untuk menunjukkan bahwa 3 x 4 = 12, kita harus mengambil sebuah jajaran dengan banyak barus 3 dan banyak lajur 4. Perhatikan gambar berikut!

Perkalian Bilangan Cacah melalui Produk Cartesius

Pada Matematika, yang dimaksud dengan produk (perkalian) Cartesius adalah perkalian silang dari 2 himpunan. Perhatikan contoh berikut.

Tono mempunyai 2 buah celana dan 3 buah baju. Bila dipasangkan, berapa buah pasangan berbeda pakaian yang dimiliki oleh Tono?

Pemeragaannya adalah sebagai berikut.

Dari gambar di atas, tampak bahwa dari 2 buah celana dan 3 buah baju diperoleh pakaian yang berbeda sebanyak 6 pasang. Jadi 2 x 3 = 6.

Perkalian Bilangan Cacah melalui Alat Peraga Nilai Tempat

Operasi perkalian bilangan cacah dengan alat peraga nilai tempat dilakukan dengan menggunakan alat peraga yang berupa kartu nilai tempat, blok model Dienes, kantong nilai tempat, dan abakus.

Perkalian Bilangan Cacah melalui Mesin Fungsi

Mesin fungsi dapat digunakan untuk membelajarkan perkalian bilangan cacah dengan sistem drill. Permainan ini bersifat rekreasi. Contohnya begini, apabila kita ingin menentukan hasil dari 2 x 3 = ..., maka berikut langkah yang ditempuh.

Mengambil kotak fungsi "x3".
Mengambil kartu yang bertuliskan 2 yang di belakangnya bertuliskan 6.
Memasukkan kartu tersebut ke dalam kotak fungsi "x3".
Memeriksa hasil keluaran kartu tersebut, dan ternyata adalah 6. Perhatikan gambar berikut!

Dari pemeragaan di atas, didapatkan pernyataan bahwa 2 x 3 = 6.

Rancangan dari mesin fungsi tersebut adalah sebagai berikut. Kalau Sahabat Pendidik ingin membuatnya, Sahabat boleh menirunya.

Bilangan-bilangan yang mesti tertulis pada kartu fungsi "x3" adalah:

masukan 1, hasilnya 3;
masukan 2, hasilnya 6;
masukan 3, hasilnya 9;
masukan 4, hasilnya 12;
masukan 5, hasilnya 15;
masukan 6, hasilnya 18;
masukan 7, hasilnya 21;
dan seterusnya.

Cara kerja dari masin fungsi tersebut adalah sebagai berikut. Kalau bilangan yang dimasukkan adalah x, maka hubungan antara bilangan yang masuk dan bilangan yang keluar adalah f : x → 3x. Dalam bahasa lain, apabila yang masuk dimisalkan sebagai x dan yang keluar dimisalkan sebagai y, maka hubungan antara x dan y adalah y = 3x. Ini merupakan sebuah fungsi yang berbentuk linier.

Perkalian Bilangan Cacah melalui Penjumlahan Berulang

Penjumlahan berulang dapat digunakan sebagai pendekatan untuk membelajarkan perkalian pada bilangan cacah. Kita perhatikan lagi contoh soal di atas yang bunyinya sebagai berikut.

Ibu Ani mempunyai 2 dus telur. Masing-masing dus berisikan 6 butir telur. Berapa butir telur yang dipunyai oleh Ibu Ani?

Dari soal tersebut jelaslah bahwa banyaknya telur Ibu Ani adalah 6 + 6. Jadi dikatakan 2 x 6 = 6 + 6. Dengan demikian, maka soal-soal 5 x 2, 6 x 1, 4 x 2, 2 x 4 dapat diselesaikan dengan bentuk penjumlahan berulang sebagai berikut.

5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2

6 x 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2

2 x 4 = 4 + 4

Di sini ada hal yang mesti diingat: meski hasilnya sama, proses 2 x 4 dengan proses 2 x 4 adalah berbeda. Perkalian 2 x 4 merupakan jumlah dari dua bilangan 4, hitungannya adalah 2 x 4 = 4 + 4. Sedangkan perkalian 4 x 2 merupakan jumlah dari empat bilagan 2, hitungannya adalah 4 x 2 = 2 x 2 x 2 x 2.

Untuk lebih mengingatkan peserta didik mengenai konsep penjumlahan berulang ini, guru bisa menganalogikannya dengan resep dokter 3 x 1. Resep 3 x 1 artinya tiga kali minum obat, dengan setiap kali minum obat, obat yang diminum adalah 1 tablet.

Perkalian Bilangan Cacah melalui Cara Mendatar, Bersusun Panjang, dan Bersusun Pendek

Kita hendak menyelesaikan soal berikut.

Sebuah hotel memiliki 376 kamar. Setiap kamar dapat ditempati 4 orang. Berapa orang dapat menempati hotel tersebut?

Soal ini berusaha mencari hasil dari 376 x 4. Soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara mendatar, bersusun panjang, dan bersusun pendek.

Perkalian melalui Cara Mendatar

Perkalian dengan cara mendatar dilakukan dengan cara mengalikan semua nilai tempatnya secara mendatar. Perhatikan penyelesaian berikut!

376 x 4	= (300 + 70 + 6) x 4
	= (300 x 4) + (70 x 4) + (6 x 4)
	= 1.200 + 280 + 24
	= 1.504

Jadi dapat dinyatakan bahwa 376 x 4 = 1.504.

Perkalian melalui Cara Bersusun Panjang

Perkalian dengan cara mendatar dilakukan dengan cara mengalikan semua nilai tempatnya secara menurun. Perhatikan penyelesaian berikut!

	3	7	6
			4
	_	_	_	x
		2	4		↔	(6 x 4)
	2	8	0		↔	(70 x 4)
1	2	0	0		↔	(300 x 4)
_	_	_	_	+
1	5	0	4

Jadi dapat dinyatakan bahwa 376 x 4 = 1.504.

Perkalian melalui Cara Bersusun Pendek

Perkalian dengan cara bersusun pendek hanya untuk membina keterampilan peserta didik dalam beroperasi secara cepat, bukan untuk menjelaskan konsepnya. Perhatikan penyelesaian berikut!

	3	2
	3	7	6
			4
_	_	_	_	x
1	5	0	4

Langkah melakukan perkalian dengan cara bersusun pendek di atas adalah sebagai berikut.

Kalikan bilangan satuan 6 dengan 4. Didapatkan 6 x 4 = 24. Tulis 4 dan simpan angka 2 pada ruas puluhan (di atas angka 7).
Kalikan bilangan puluhan 7 dengan 4 dan tambahkan dengan simpanan pada langkah pertama tadi. Didapatkan (4 x 7) + 2 = 28 + 2 = 30. Tulis 0 dan simpan angka 3 pada ruas ratusan (di atas angka 3).
Kalikan bilangan ratusan 3 dengan 4 dan tambahkan dengan simpanan pada langkah kedua tadi. Didapatkan (3 x 4) + 3 = 12 + 3 = 15. Tulis angka 5 pada ruas ratusan dan tulis angka 1 pada ruas ribuan.
Didapatkan 376 x 4 = 1.504.

Sifat-sifat Perkalian Bilangan Cacah

Sifat-sifat perkalian bilangan cacah terdiri dari sifat tertutup, sifat pertukaran, sifat pengelompokan, sifat distributif, dan sifat bilangan 1 serta 0. Berikut penjelasannya.

Sifat Tertutup pada Perkalian Bilangan Cacah

Perkalian bilangan cacah bersifat tertutup karena hasil kali sembarang dua buah bilangan cacah akan menghasilkan bilangan cacah juga. Sebagai contohnya kita ambil 3 x 4 = 12. Di sini 3 adalah bilangan cacah, 4 adalah bilangan cacah, dan 12 sebagai hasilnya juga adalah bilangan cacah.

Sifat Pertukaran pada Perkalian Bilangan Cacah

Perkalian bilangan cacah memiliki sifat pertukaran karena untuk dua bilangan cacah sembarang bila dikalikan hasilnya tidak akan berubah meski letak keduanya dipertukarkan. Kita ambil contoh pembuktian apakah 3 x 5 memiliki hasil yang sama dengan 5 x 3. Hasil dari 3 x 5 adalah 15 dan hasil dari 5 x 3 juga adalah 15. Ini artinya 5 x 3 = 3 x 5. Sifat pertukaran disebut juga sifat komutatif.

Sifat Pengelompokan pada Perkalian Bilangan Cacah

Perkalian bilangan cacah memiliki sifat pengelompokan karena untuk setiap tiga bilangan cacah sembarang hasil kalinya tidak akan berubah meski dua bilangan pertama ataupun dua bilangan terakhirnya dikalikan terlebih dahulu. Kita ambil contoh pembuktian apakah (3 x 4) x 6 memiliki hasil yang sama dengan 3 x (4 x 6).Hasil dari (3 x 4) x 6 adalah 12 x 6 = 72 dan hasil dari 3 x (4 x 6) adalah 3 x 24 = 72. Ini artinya (3 x 4) x 6 = 3 x (4 x 6). Sifat pengelompokan disebut juga sifat asosiatif.

Sifat Distributif pada Perkalian Bilangan Cacah

Perkalian bilangan cacah memiliki sifat distributif karena setiap bilangan cacah sembarang berlaku rumus a x (b + c) = (a x b) + (a x c). Kita ambil contoh pembuktian apakah 2 x (4 + 5) memiliki hasil yang sama dengan (2 x 4) + (2 x 5). Hasil dari 2 x (4 + 5) adalah 2 x 9 = 18 dan hasil dari (2 x 4) + (2 x 5) adalah 8 + 10 = 18. Ini artinya 2 x (4 + 5) = (2 x 4) + (2 x 5). Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran.

Sifat Bilangan 1 (Satu) dan 0 (Nol) pada Perkalian Bilangan Cacah

Semua bilangan cacah yang dikalikan dengan satu hasilnya adalah tetap, misalnya:

3 x 1 = 3;
5 x 1 = 5;
1 x 1 = 1;
0 x 1 = 0.

Semua bilangan cacah yang dikalikan dengan nol hasilnya adalah nol, misalnya:

3 x 0 = 0;
5 x 0 = 0;
1 x 0 = 0;
0 x 0 = 0.

Demikianlah bahasan mengenai operasi perkalian pada bilangan cacah, ya Sahabat Pendidik. Semoga bahasan mengenai fakta-fakta perkalian, pendekatan pembelajaran perkalian, dan sifat-sifat perkalian yang telah penulis paparkan memberikan manfaat.

Salam litersi guru ndeso.

Munasifatut Thoifah

Guru yang selalu ingin berbagi inspirasi.

Iklan Header